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電磁場と重力場

 

記号

  e:電気素量 

 ds2=gμνdxμdxν   :gμν 計量テンソル

 uμ :4元速度ベクトル(dxμ/ds)

 Aμ :4元ベクトルポテンシャル

 Jν :4元電流(密度)ベクトル(=e・ρ・uν
 Fμν:電磁テンソル

 Gμν:アインシュタインテンソル=Rμν-gμνR/2+λgμν?

  [ ] :巡回置換して反対称和を求める記号

   ( )  :巡回置換して対称和を求める記号

 

 Fμν=∂[μν]=(∂μν-∂νμ)=-Fνμ:反対称性

 Kμν=∂(μν)=(∂μν+∂νμ)=Kνμ :対称性

 

 

 Fμν=Kμν-2・∂νμ

 ∂(σμν)=∂(σμν)-2・∂(σνμ)0 :マックスウェル方程式 第1組

 

 ∂μμν=∂μμν-2・∂μνμ=Jν  :マックスウェル方程式 第2組

 

  ∂μμν-2・∂ν(∂μμ)=Jν   :ローレンツ条件 ∂μμ=定数

   μμν=Jν

      μν=∫Jνdxμ=∫Jν(dxμ/ds)ds

          e∫ρ(dxν/ds)(dxμ/ds)ds

                 e∫ρuνμds=e∫Tμνds   :Tνμ=Tμν

          

   k・dKμν/ds=Gμν=k・e・Tμν=(8πG/c^4)Tμν

 

 

E:「大丈夫かね、君?」

F:「フンガ~。」

E:「こりゃ、いかんな!

   かなり熱があるようじゃ。」

F:「フ・・・。」

E:「黙って、休みなさい。」

 

 

Cf)

νμμν=∂νν=0  :電荷の保存

μ →∇μ  :共変微分

μ(dKμν/ds)=eμμν=0  

        

      μν=0のとき

   k・Kμν=∫Gμνds=λ∫gμνds or  μν=(k/λ)・dKμν/ds

 


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不定

 

記号

 ημν :ミンコフスキー計量テンソル 時空Xμ

 fμν :反対称テンソル(=-fνμ) 

 hν :カレント  hν=∂μμν     νν=0(保存)

 

 

 ds2=gμνdxμdxν=ηαβdXαdXβ

 

μν=ηαβμανβ

 

 

'μν=gμν-fμν   :変換

'μνdxμdxν

  =gμνdxμdxν-(1/2)・(fμνdxμdxν+fνμdxνdxμ

 =gμνdxμdxν-(1/2)・(fμνdxμdxν-fμνdxνdxμ

 =gμνdxμdxν

 

 

μ'μν=∂μμν-∂μμν=∂μμν-hν

νμ'μν=∂νμμν -∂νν=∂νμμν

 

 

E:「今日も出席者は君だけか。」

F:「フンガ~。」

E:「この間は、いきなり場の話を始めて悪かった。」

F:「・・・。」

E:「知恵熱で君の脳は思考停止したようだ。」

F:「フンガ~。」

E:「君のことは良く分かっている。世間では君をフランケンシュタインと呼んでおるが、

   それは君を創った博士の名前だ。」

F:「フンガ~。」

E:「とりあえず、君という呼び名で構わないかね?」

F:「フンガ~。」

 

Cf) 単位系

 

E:「物理定数c、G、e、λなどがやたら出てくるとややこしいから、

  c=1、G=1、e=1とおこう。」

F:「フンガ~。」

E:「君のノートに書いてある、k=8πG/e/c^4は、k=8πじゃな。」

F:「フ・・・。」

E:「ついでにλも8πにしよう。この宇宙定数λは、わたしが導入した最大の失態だが、どうせ、その値などは誰も決められんだろうから。」

F:「ンガ~。」

 

 

μν=Fμν+2・∂νμ

 

μ=(s/2)・ημρ・xρ とする

 

μν=0のとき

  μν=dKμν/ds=dFμν/ds+2・d(∂νμ)/ds

    =dFμν/ds+d(s・ημρνρ)/ds

    =d(Fμν+s・ημν)/ds

    =dFμν/ds+ημν

 

μνdxμdxν

 =(dFμνdxμdxν+dFνμdxνdxμ)/ds/2+ημνdxμdxν

 =(dFμνdxμdxν-dFμνdxνdxμ)/ds/2+ημνdxμdxν

 =ημνdxμdxν

 

 


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反対称

 

 

記号

Cμν=(C[μν]C(μν)/2  :場のテンソル

 

 C[μν]=(CμνCνμ/

 C(μν)=(CμνCνμ/

 

 

条件式:∂(ρCμν)=0 

    ∂ρCμν+∂μCνρ+∂νCρμ=0

    ∂ρCνμ+∂νCμρ+∂μCρν=0  :μとνの入れ替え

 両辺の引き算

   ∂ρCμνCνμ)+∂μCνρCρν)+∂νCρμCμρ)=0

 2で割ると

   ∂ρC[μν]/2+∂μC[νρ]/2+∂νC[ρμ]/2=0

 

   ∴ Cμν=(C[μν]/2 +定数 

 

 

 

E:「電磁場のような場の反対称成分C[μν]/2は計量に影響しない。

C[μν]/2によって計量にテンソルfμνが現れたとしても、gμνは痛くも痒くも無い。」

F:「フンガ~。」

E:「すなわちfμνがどう足掻こうとも無いのと同じであるから、座標変換で消しようがない。ローレンツ変換によって真空中での光速が変わらないことは、君も知ってのとおりだ。場の対称成分の変化が計量に影響する場合だけを気にすればいいということじゃな。」

F:「ンダ。」

E:「?」


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場の方程式

 

 

記号

   τ:固有時

  t:Local

τ=u0・∂

  ∂τ=(1/0)・∂

  φ:スカラーポテンシャル

  Aμ=φ・uμ

     μ=(e・ρ・u0,e・ρ・u

μ,ν,ρ=0,1~3

k,m,n=1~3

εmkn:3階完全反対称テンソル

 

 

 

Cμν=∂μν-∂νμ

 

 

Ex1)

C0k=∂τ-∂0

    =u0((∂φ)u-∂φ)

 =u0・E

 

     kC0k=u0・∂k=u0・e・ρ=J0   (1) 

       

Cmk=∂m-∂m

       =(∂mφ)u-(∂kφ)um

          =εmkn・B

 

   ∂τC10=-∂τ01

                  =-(1/0)・∂(u0・E1

      =-∂1

        1C11=0

    2C12=∂(ε123・B3

                =∂3

                =∂2 3

        3C13=∂(ε132・B2

                =-∂2

                =-∂32

         μC1μ=-∂1 +(∂2 3-∂32)=J1   (2)

    巡回置換

          μC2μ=-∂2 +(∂3 1-∂13)=J2

            ∂μC3μ=-∂3 +(∂1 2-∂21)=J3

 

     μCνμ=Jν 

 

  Ex2)

    (ρCμν)=0    :拘束条件

    

  μ=1,ν=2,ρ=0のとき

 

   ∂τC12+∂1C20+∂2C01=0

 

      ∂τC12=∂ τ(ε123・B3

                =-u0t3

      ∂C20=∂1((∂2φ)u0-u0t2

                =-u012

         C01=∂2(∂τ1-u01φ)

                =u02(∂t1-∂1φ)

          =u021

     

∴ u0(-∂12  21 -∂t3)=0

      ∂12  21  +∂t3 =0  (3)

  巡回置換

      ∂23  32  +∂t1 =0

            ∂31  13  +∂t2 =0

 

ρ=1,μ=2,ν=3のとき

 

   ∂1C23+∂2C31+∂3C12=0

      ∂11+∂22+∂33=0 (4)

 

 

 

E:「多少込み入った計算ではあるが、結果はそれほど複雑なものでない。

  ところで、わたしの統計によると、君の発言率は、5から7ディラック(注)の範囲内だ。」

F:「フンガ~。」

E:「PAUL  ADRIEN  MAURICE  DIRACよりは、よくしゃべる方かな。まぁ、よけいなことを言う輩よりはずっとマシだが・・・。」

F:「ンガ。」

 

 

 

(注)ディラック:ヒトの寡黙さを表わす単位。1ディラックは1時間当たり1語と定義される。

 

 

 

 Cfヘヴィサイド・ローレンツ(Heaviside-Lorentz)単位系 

(1)∇· = ρ 

(2)∇× −∂/0 = j/c 

(3)∇× + ∂/0 = 0 

(4)∇· = 0

 


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ゲージ変換

 

記号

 Λ:任意の関数

 δ:変分

  □:=∂μμ

 

 'μ=Aμ-∂μΛ   :変換式

 

 F'μν=∂[μ'ν]

          =∂μ'ν-∂ν'μ

          =∂μ(Aμ-∂μΛ)-∂ν(Aμ-∂μΛ)

       =∂μν-∂νμ=Fμν

     

 δFμν=F'μν-Fμν=0

 

 

 K'μν=∂(μ'ν)

     =∂μ'ν+∂ν'μ  

      =∂μ(Aμ-∂μΛ)+∂ν(Aμ-∂μΛ)

      =∂μν+∂νμ-2・∂μνΛ

      =Kμν-2・∂μνΛ

 

 δKμν=K'μν-Kμν=-2・∂μνΛ

 

 

 ∂μ'μ=∂μ(Aμ-∂μΛ)=∂μμ-□Λ

 ∴□Λ=0のとき δ(∂μμ)=0

 

 

 μ'μν

μ(∂μ'μ-∂ν'μ

=□A'μ-∂νμ'μ

=□(Aμ-∂μΛ)-∂νμμ

=□Aμ-∂μ□Λ       :μμ=a(定数)

=□Aμ

 

 

 ∂μ'μν

μμν-2・∂ν□Λ

μμν

 

 

E:「君の抱く感情は、全く電気的な現象だ。」

F:「フンガ~。」

E:「しかしながら、電磁場の方程式はゲージ不変だから、ゲージ変換によって君の人生は変わらないんだよ。」

F:「・・・。」

 

Cf)位相変換

Vμ:複素ベクトル場(S系 位置座標X)

μ:複素ベクトル場(S'系 位置座標x)

μ:接続係数

 

[A,B]=AB-BA :交換子

 

 

Vμ=vμexp(iΛ(xμ))

 

 

S系で∂Vμ/∂Xν=0

 

左辺

=(∂xσ/∂Xν)(∂Vμ/∂xσ

=(∂xσ/∂Xν)(∂(vμexp(iΛ(xμ))/∂xσ

=(∂xσ/∂Xνexp(iΛ(xμ))(∂σμ+(i∂σΛ)vμ

 

 

σ≡∂σ+i∂σΛ=∂σ+iAσ

 

'系 Dσμ=0

 

 

[Dσ,Dρ

=[∂σ+iAσ,∂ρ+iAρ

=[∂σ,∂ρ]+i([∂σ,Aρ]-[∂ρ,Aσ])-[Aσ,Aρ

=i(∂σρ-∂ρσ)-[Aσ,Aρ

 

 

 

[Aσ,Aρ]=0のとき [Dσ,Dρ]=i・Fσρ

 

 

 


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